Реконструкция изображений в компьютерной томографии

Решение математических задач томографии сводится к решению операторных уравнений 1-го рода. Известно, что решение таких уравнений является некорректной задачей. При нахождении их приближенных решений необходимо использовать методы регуляризации, позволяющие учитывать дополнительную информацию о задаче [61]. Разнообразие такой информации порождает многочисленные алгоритмы решения основных математических задач вычислительной диагностики.

Одна из главных проблем, возникающих при решении математических задач томографии, - выбор оптимального алгоритма, критерием отбора которого может служить, например, качество изображения.

Рассмотрим основные математические соотношения, на которых базируются современные методы вычислительной томографии. Данные соотношения заимствованы из интегральной геометрии и применяются к томографическим измерениям с учетом методов решения некорректных задач [63].

Пусть на плоскости (х, у) в прямоугольной системе координат задана двухмерная функция f(х,у), интегрируемая по всем возможным прямым, лежащим в данной плоскости (рис. 6). Всякая прямая может быть описана уравнением

х cos ф + у sin ф- s = 0,    (1)

где s - расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой; ф -угол, образованный с осью х перпендикуляром, опущенным на прямую из начала координат.

Согласно (1) произвольная прямая однозначно задается параметрами s и ф. Поэтому результат R интегрирования функции f (х, у) по некоторой прямой будет зависеть от этих же параметров (R = R( s, ф)):

Рис. 6. Система координат для преобразования Радона

Подобное интегрирование можно рассматривать как некоторое преобразование, которое функцию f (х, у) на плоскости (х, у} ставит в соответствие функции R( s, ф) на множестве всех прямых. Это преобразование называется преобразованием Радона, а R(s, ф) называют образом функции f (х, у) в пространстве Радона. Уравнение (2) используется для описания затухания рентгеновского луча, проходящего по прямой линии через объект.

В томографии ставится математическая задача поиска неизвестной функции f(х,у), если известна функция R(s,ф), являющаяся образом функции f (х, у) в пространстве Радона. Решение поставленной задачи сводится к поиску преобразования, обратного преобразованию Радона. Впервые формула обратного преобразования была приведена в статье Иоганна Радона, опубликованной в 1917 г. в трудах Саксонской академии наук.

Этот алгоритм восстановления оставался единственным до тех пор, пока не начал широко применяться томографический метод, опирающийся на решение сформулированной выше математической задачи. С этого момента началась разработка различных алгоритмов восстановления, отличающихся способом учета технических особенностей; степенью детализации структуры флуктуационных явлений, сопровождающих процесс томографии; объемом используемых априорных сведений и возможностью адаптации к данным конкретным условиям.

Проекция изображения формируется объединением набора линейных интегралов. В простейшем случае это набор измерений, проведенных вдоль параллельных линий. В случае веерного пучка для измерений используют один источник лучей, зафиксированный в определенной точке и поворачиваемый синхронно с кольцом детекторов.

Существует соотношение, определяющее аналогичную уравнению (2) связь между преобразованием Фурье этих функций. Это так называемая теорема о центральном сечении [64].

Пусть R(m, ф) - одномерное преобразование Фурье (или спектр Фурье) функции R(s,y) по переменной s, а F(u, v) - двухмерное преобразование Фурье (пространственный спектр) функции f (х, y) по переменным х и у:

Введем в трехмерном пространстве прямоугольную систему координат, по осям которой отложены F, и и v. Проведем через начало координат плоскость, перпендикулярную плоскости (u, v), такую что линия пересечения плоскостей будет составлять с осью u угол ф . В сечении этой плоскости со значениями функции F (u, v) получается некоторая одномерная функция, зависящая от положения точки на этой прямой (например, от расстояния до начала координат). Если это расстояние равно ю, то координаты точки этой прямой в плоскости (u, v) равны u = ю cos ф, v = ю sin ф. Следовательно, данная функция одной переменной получается из функции двух переменных F(u, v) путем подстановки u и v.

Теорема о центральном сечении гласит: если функция f (х, y) и ее радо-новский образ R(s, ф) имеют преобразования Фурье, то одномерное преобразование Фурье радоновского образа R(s, ф) по переменной s равно функции, описывающей центральное сечение двухмерного преобразования Фурье, соответствующее тому значению ф, при котором вычисляется преобразование Фурье функции R(s, ф).

С учетом введенных обозначений математическая формулировка теоремы о центральном сечении имеет вид

S (ю, ф) = F (u, v) .    (5)

Задача восстановления изображения базируется на теореме о центральном сечении. Функцию f (х, y) можно найти по двухмерному преобразованию Фурье F (u, v):

Перейдем в плоскости (u, v) к полярным координатам ю, ф: u = ю cos ф, v = ю sin ф. Тогда уравнение (6) будет иметь вид

f (х, y) = Лл f a F(о cos ц>, со sin cp)e'20хcosy+ysiny) da dy,    (7)

f (x, y) = f a R(a,(p)el2m}(xcosy+ysiny) da dy.    (8)

Равенство (8) является искомой формулой обращения, позволяющей найти функцию f (x, y). Однако данная форма записи равенства из-за используемой в нем области интегрирования оказывается не всегда приемлемой для обработки томограмм. Удобнее разбить интеграл на два, считая что ф изменяется от 0 до л и от л до 2л, поскольку тогда можно использовать свойство

F(ш, ф + л) = F(ш, ф).    (9)

Алгоритм фоновой проекции относительно прост для параллельной схемы сканирования, но реконструкция занимает много времени. Веерное сканирование намного быстрее, но алгоритм для него более сложен. Существует также алгоритм взвешенного проектирования с равными интервалами выборки как для параллельного, так и для веерного сканирования. Кроме того, можно перевести данные о проекции, полученные для веерного пучка, в эквивалентные данные, полученные с помощью параллельных лучей, что позволяет использовать простой алгоритм реконструкции.

Регистрируемые детектором данные - это результат взаимодействия рентгеновского излучения и вещества, из которого состоит исследуемый объект. При прохождении через объект энергия фотонов уменьшается из-за действия фотоэлектрического эффекта (поглощения) и эффекта Комптона (рассеивания) [4]. Коэффициент поглощения фотонов узкого рентгеновского пучка при прохождении через материал зависит от коэффициента линейного ослабления этого материала:

I (x) = 10 e    ,    (10)

где d - толщина объекта; I - интенсивность рентгеновских лучей, испускаемых источником; 10 - регистрируемая детектором интенсивность излучения; v - коэффициент линейного ослабления материала.

В компьютерной томографии рентгеновская трубка и система коллими-рования создают узкий веерообразный пучок лучей, рассеиваемых всеми вокселами (voxel - volume element) отображаемого слоя (рис. 7). Суммарный коэффициент рассеивания при прохождении излучения через ряд во-кселов равен

Vs = Vi + ^2 + ••• + Vn ,    (11)

где Vi, V2, ••• VN - коэффициенты рассеивания излучения соответствующими вокселами.

Поскольку детекторы регистрируют интенсивность излучения, прошедшего через весь исследуемый объект, то по полученным данным мы можем оценить только /us:

1 =10 exP[-Vsd] = 10 exP[-(Vi +V2 + ■■■ + VN)d].

(12)

Рис. 7. Прохождение рентгеновских лучей через тонкий срез

Найти коэффициенты поглощения для каждого воксела, необходимые для реконструкции изображения, можно с помощью метода обратного проецирования, предполагающего получение информации о характере поглощения рентгеновского излучения во многих ракурсах. Рассмотрим слой, состоящий из четырех вокселов (рис. 8,а).

Рис. 8. Схема получения данных при компьютерной томографии

Исследуемый слой подвергается облучению в нескольких ракурсах, в результате чего получаем ряд различных значений суммарных коэффициентов, которые можно записать в виде следующей системы уравнений:

Решая уравнения, получаем коэффициенты ослабления для указанных вокселов. Каждому вокселу на изображении соответствует отдельный пиксел (pixel - picture element), яркость которого отражает ослабление (абсорбцию) рентгеновского излучения данным вокселом.

В действительности изображения в компьютерной томографии состоят из значительно большего числа пикселов и восстанавливать приходится коэффициенты рассеивания для такого же количества вокселов (рис. 8,6). В современных томографах цифровая матрица получаемого изображения чаще всего имеет размерность 512x512 или 256x256 пикселов.

Выходные данные (H) КТ-сканера даются в КТ-числах или единицах Хаунсфилда (HU). В современных медицинских сканерах измеряемый диапазон КТ-чисел от -1024 до +3071 HU. Соотношение между коэффициентом линейного ослабления материала /лх и соответствующей единицей Ха-унсфилда имеет вид

H = Кс - Vводы ,1ооо.    (14)

Компьютерная обработка изображения позволяет различать более ста степеней изменения плотности исследуемых тканей: от нуля - для воды и ликвора, до ста и более - для костей (табл. 2). Это дает возможность дифференцировать различия нормальных и патологических участков тканей в пределах 0,5-1%, т.е. в 20-30 раз больше, чем на обычных рентгенограммах.

Таблица 2

Плотность различных тканей в КТ

Ткань

Плотность,

HU

Ткань

Плотность,

HU

Кость, в среднем

+1000

Серое вещество мозга

+20-40

Свернувшаяся кровь

+55-75

Кровь

+13-18

Селезенка

+50-70

Спинно-мозговая жидкость

+15

Печень

+40-70

Опухоль

+5-35

Поджелудочная железа

+40-60

Желчный пузырь

+5-30

Почка

+40-60

Вода

0

Аорта

+35-50

Орбиты

-25

Мышцы

+35-50

Жир

-100

Белое вещество мозга

-36-46

Легкие

-150-400

Мозжечок

+30

Воздух

-1000

Рекомендуем к просомтру

www.kievoncology.com благодарны автору и издательству, которые способствует образованию медицинских работников. При нарушении авторских прав, сообщите нам и мы незамедлительно удалим материалы.